پرسش درباره چیزی که باعث می‌شود تا استفاده از تاس عادلانه به نظر بیاید، به تفکر بیشتری نسبت به آنچه که تصور می‌کنید نیاز دارد.
در ساده‌ترین حالت، یک تاس سالم نشان از این دارد که هرکدام از جهت‌های آن، به مقدار یکسانی احتمال افتادن دارند. به عنوان مثال، در قالب شش وجهی استاندارد، اگر هریک از سطوح آن احتمال ۱/۶ را داشته‌باشند، می‌توان آن را عادلانه نامید. با این حال زمانی که شما اشکال دیگری بغیر از یک مکعب را برای این مورد استفاده نمایید، عوامل زیادی وجود دارند که بازی شما را تغییر می‌دهند و آن را پیچیده‌تر خواهند کرد.
سه عامل موثر برای تعیین عادلانه بودن تاس ریختن وجود دارد. اول، شکل هندسی تاس است. دومین مورد نحوه گردش آن و فاکتور سوم، عوامل محیطی است؛ مانند سطحی که تاس را روی آن می‌اندازید.
مهم‌ترین فاکتور این است که آیا شکل یک تاس از لحاظ تقارن عادلانه است یا خیر. Persi Diaconis یکی از نوابغ استنفورد در مقاله خود این عامل را این طور توصیف کرده است:
یک تاس از نظر تقارن عادلانه خواهد بود، اگر و تنها اگر تقارن آن رابطه غیر مستقیمی با سطوح آن داشته باشد.
این بدان معنی است که وقتی شما هر وجه از یک تاس را رو به بالا بگیرید، شکل کلی هندسی آن متقارن و بدون تغییر دیده شود. با اتکا به این استاندارد، Diaconis به درک صحیحی از آنچه که ارشمیدس بیش از ۲۰۰۰ سال پیش کشف کرده بود، رسید:
۳۰ گونه مختلف از تاس عادلانه وجود دارد.
با این حال، روش‌های خاصی وجود دارد تا مشخص کنیم که کدام تاس از سایرین عادلانه‌تر است. این قضیه زمانی روشن می‌شود که تعداد “تقارن‌های” یک تاس را بشماریم. به عبارت دیگر، چند روش مختلف وجود دارد که می‌توان یک تاس را بدون اینکه شکلش تغییر کند، در موقعیت‌های مختلف بچرخانیم؟ مثلا برای یک تاس ۶ وجهی، ۲۴ تقارن مختلف وجود دارد. یک تاس ۴ ضلعی، یا یک تاس ۴ وجهی که هرمی شکل باشد، تنها ۱۲ تقارن متفاوت دارد.
این‌جاست که چگونگی تاس ریختن، تاثیرگذار می‌شود. با توجه به سرعت‌های زاویه‌ای و چرخشی که برای یک تاس وجود دارد، ۱۲ بعد مختلف از پارامترهای لازم برای تعریف ریاضی شرایط اولیه تاس ریختن را می‌توان ذکر کرد. با در نظر گرفتن این موارد می‌توان گفت که هر اندازه که تاس از تقارن بیشتری برخوردار باشد، عادلانه‌تر است، چرا که دستکاری آن برای تعیین وجه، دشوارتر خواهد شد.
جهان ایده‌آل از منظر ریاضی بسیار متفاوت‌تر از دنیای واقعی است. مشخصات فیزیکی، از جمله کیفیت سطح تاس‌ریزی و چگونگی استفاده از آن یا فرسوده کردن تاس، بر نتیجه تاس ریختن تاثیر می‌گذارد. در واقع، در یک بازی عادی با تاس سیاه و سفیدی که حفره‌های آن برای شماره‌گذاری سوراخ‌شده و سپس رنگ‌آمیزی شده‌اند، رنگ مورد استفاده سبک‌تر از مواد اولیه تاس است، به طوری که یک طرف از آن فرق چندانی با ۵ وجه دیگر ندارد.
